Análise
de Sensibilidade no Modelamento do Fluxo e Transporte de Águas
Subterrâneas
Todo sistema
físico pode ser descrito como um modelo do tipo Input-Output,
no qual as informações de saída (Output) podem
ser comparadas aos parâmetros de entrada (Input). A teoria da
sensibilidade foi desenvolvida para avaliar o comportamento de modelos,
nos quais os dados de entrada sejam incertos ou até errôneos.
Esta teoria tem sua origem na Matemática Aplicada e na Engenharia
(SYKES et al. (1985), FRANK (1978), BRAYTON & SPENCE (1980)). Análises
de sensibilidade são muitas vezes utilizadas na decisão
de assuntos ligados à área econômica (RIOS INSUA,
1990). Na hidrogeologia podem ser citados, entre outros, os trabalhos
de KABALA & MILLY( 1990), LA VENUE et al. (1989) e DENDROU et al.
(1994).
A análise de sensibilidade é parte integrante do modelamento
matemático e fornece informações sobre a importância
de cada parâmetro do modelo. Com sua ajuda, é possível
avaliar de que maneira incertezas nos parâmetros influenciam os
resultados das simulações efetuadas. Desta maneira, ela
se torna ferramenta importante também durante a calibração
do modelo matemático de fluxo e transporte. Somente através
da utilização da análise de sensibilidade é
que é possível, definir os limites da utilização
de modelos de fluxo e transporte, ou seja, conseguir avaliar quão
robustos eles são.
Quando se efetua uma análise de sensibilidade, pode-se obter
dados sobre as influências dos parâmetros, como por exemplo
condutividades hidráulicas, espessura de aqüíferos,
coeficientes de armazenamento, dispersividades, recargas de contaminantes,
taxas de infiltração, entre outros, nos resultados do
modelo. Pode-se então determinar quais parâmetros merecem
uma atenção especial e planejar novas formas de se obter
mais informações sobre o mesmo.
A figura 1 exibe um exemplo de resultado de uma análise de sensibilidade.
Nela podem ser observados os valores de influência dos principais
parâmetros sobre os resultados do modelo de fluxo (cargas hidráulicas)
e do modelo de transporte (concentrações), expressos em
porcentagem. Nota-se que os termos advectivos influenciam em 50% os
resultados de concentração do modelo de transporte.
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Figura
1: Exemplo de um resultado de uma análise de sensibilidade.
A influência de cada parâmetro sobre as cargas hidráulicas
e sobre os valores de concentração está expressa
em porcentagem.
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Existem
duas maneiras de se efetuar uma análise de sensibilidade de modelos
de fluxo e transporte de águas subterrâneas. Primeiramente,
pode-se observar as variações causadas na saída
do modelo (fluxo resultante, distribuição do contaminante)
por diferentes modificações nos parâmetros. A segunda
forma, é a de se observar o efeito delas sobre os resultados
de calibração (cargas hidráulicas e concentrações
dos pontos medidos no campo).
Na maioria dos casos deve-se aplicar ambos procedimentos para se poder
obter resultados conclusivos. Desta maneira, pode-se definir quais parâmetros
influenciam de sobremaneira o sistema de fluxo e transporte, os prognósticos
e a calibração de uma maneira geral. Pode-se ainda identificar
quais parâmetros tem uma influência pronunciada no fluxo
e transporte, sem no entanto, modificar muito os resultados de calibração
do modelo.
Uma das principais ferramentas que vem sendo utilizada na análise
de sensibilidade é o programa WINPEST (Model Independent Parameter
Estimation Program) desenvolvido pelas empresas Watermark Numerical
Computing (DOHERTY, 1998) e Waterloo Hydrogeologic Inc.. O programa
WINPEST pode ser utilizado para ambos procedimentos descritos acima
e encontra-se integrado ao programa de modelamento do fluxo e transporte
de águas subterrâneas VISUAL MODFLOW.
O programa WINPEST foi desenvolvido para melhorar a calibração
de modelos, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre
os valores observados e os calculados pelo modelo (função
F) através de variações nos parâmetros de
entrada. Para a melhor configuração dos parâmetros,
WINPEST determina a sensibilidade da função F para cada
parâmetro (matriz de Jacob), ajusta os parâmetros e calcula
o novo valor para a função F. Estas sensibilidades calculadas
pelo programa WINPEST podem ser utilizadas para se determinar a sensibilidade
do modelo.
Sensibilidade
da Saída de Modelos Matemáticos de Fluxo
Para se avaliar a sensibilidade da saída de um modelo de fluxo,
e, para se evitar tendências criadas por aglomerações
de pontos de observação de poços de monitoramento,
o modelo deve ser dividido numa grade com várias linhas e colunas.
Em cada intersecção, deve-se colocar um ponto de observação,
cujo valor de carga hidráulica corresponda ao valor do modelo
calibrado. Neste caso, a função F, que deverá ser
minimizada, engloba todos estes pontos. Após o cálculo
feito pelo programa WINPEST, obtem- se um resultado similar ao apresentado
na figura 2. Neste caso foram avaliadas as sensibilidades dos parâmetros
condutividade hidráulica e recarga. Cada área de condutividade
hidráulica corresponde a uma área de recarga diferente
neste modelo. Observa-se que tanto para a condutividade hidráulica,
como para a recarga as áreas 4 e 5 são as de maior sensibilidade.
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Figura
2: Exemplo de uma representação gráfica de
valores de sensibilidade obtidos com o programa WINPEST para os
parâmetros condutividade hidráulica e recarga ao
aquífero de um modelo matemático de fluxo.
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Sensibilidade
da Calibração de Modelos Matemáticos de Fluxo
O programa WINPEST também pode ser utilizado para efetuar uma
análise de sensibilidade utilizando os valores de carga hidráulica
medidos no campo e que foram utilizados para a calibração
do modelo. No entanto, podem existir trends devido à uma maior
concentração de poços numa determinada área.
Aquelas regiões com maior densidade de pontos são as que
irão apresentar maiores sensibilidades em detrimento das com
um menor número de observações.
De maneira geral, nesta análise serão determinadas sensibilidades
maiores que na avaliação da saída do modelo. Isto
ocorre, porque o valor total obtido para a sensibilidade de cada parâmetro
é dividido pelo número de observações, que
é muito maior na avaliação da saída do modelo.
Portanto, a comparação destes dois resultados de avaliação
da sensibilidade de cada parâmetro somente poderá ser feito
de maneira relativa.
Bibliografia:
. BRAYTON, R.K. & SPENCE, R. (1980), Sensitivity and Optimization,
Elsevier, New York, 230 pp.
. DENDROU, B., & DENDROU, S. (1994), Reference Guide for the EIS/GWM
Platform, Parts A and B, MicroEngineering, Inc., P.O. Box 1344, Annandale,
VA 22003.
. DOHERTY, J. (1998), PEST - Model Independent Parameter Estimation,
Watermark Numerical Computing
. FRANK, P.M. (1978), Introduction to Sensitivity Theory, Academic Press.,
San Diego, California.
. KABALA, Z.J. & MILLY, P.C.D. (1990), Sensitivity analysis of flow
in unsaturated heterogeneous porous media: theory, numerical model and
its verification, Water Resour. Res., 26, pag. 593-610.
. LA VENUE, M., ANDREWS, R.W. & RAMARAO, B.S. (1989), Groundwater
Travel Time Uncertainty Analysis Using Sensitivity Derivatives, Water
Resourc. Res., 25(7), pag. 1551-1566.
. RIOS INSUA, D. (1990), Sensitivity Analysis in Multiobject Decision
Making, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer,
Berlin-Heidelberg, 255 pag.
. SYKES, J.F., WILSON, J.L. & ANDREWS, R.W. (1985), Sensitivity
analysis for steady state groundwater flow using adjoint operators,
Water Resour. Res., 21(3), pag. 359-371.
Dr.
Michel W. Kohnke é
consultor senior da
Waterloo Hydrogeologic Inc.
Tel: 1 (519) 746-1798 R.241
(Waterloo, Canada)
(11) 3030-9344 (São Paulo)
E-mail: mkohnke@flowpath.com
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