Boletim Informativo da Associação Brasileira de Águas Subterrâneas Julho/2001 - Nº 116
   

Análise de Sensibilidade no Modelamento do Fluxo e Transporte de Águas Subterrâneas

Todo sistema físico pode ser descrito como um modelo do tipo Input-Output, no qual as informações de saída (Output) podem ser comparadas aos parâmetros de entrada (Input). A teoria da sensibilidade foi desenvolvida para avaliar o comportamento de modelos, nos quais os dados de entrada sejam incertos ou até errôneos. Esta teoria tem sua origem na Matemática Aplicada e na Engenharia (SYKES et al. (1985), FRANK (1978), BRAYTON & SPENCE (1980)). Análises de sensibilidade são muitas vezes utilizadas na decisão de assuntos ligados à área econômica (RIOS INSUA, 1990). Na hidrogeologia podem ser citados, entre outros, os trabalhos de KABALA & MILLY( 1990), LA VENUE et al. (1989) e DENDROU et al. (1994).
A análise de sensibilidade é parte integrante do modelamento matemático e fornece informações sobre a importância de cada parâmetro do modelo. Com sua ajuda, é possível avaliar de que maneira incertezas nos parâmetros influenciam os resultados das simulações efetuadas. Desta maneira, ela se torna ferramenta importante também durante a calibração do modelo matemático de fluxo e transporte. Somente através da utilização da análise de sensibilidade é que é possível, definir os limites da utilização de modelos de fluxo e transporte, ou seja, conseguir avaliar quão robustos eles são.
Quando se efetua uma análise de sensibilidade, pode-se obter dados sobre as influências dos parâmetros, como por exemplo condutividades hidráulicas, espessura de aqüíferos, coeficientes de armazenamento, dispersividades, recargas de contaminantes, taxas de infiltração, entre outros, nos resultados do modelo. Pode-se então determinar quais parâmetros merecem uma atenção especial e planejar novas formas de se obter mais informações sobre o mesmo.
A figura 1 exibe um exemplo de resultado de uma análise de sensibilidade. Nela podem ser observados os valores de influência dos principais parâmetros sobre os resultados do modelo de fluxo (cargas hidráulicas) e do modelo de transporte (concentrações), expressos em porcentagem. Nota-se que os termos advectivos influenciam em 50% os resultados de concentração do modelo de transporte.

Figura 1: Exemplo de um resultado de uma análise de sensibilidade. A influência de cada parâmetro sobre as cargas hidráulicas e sobre os valores de concentração está expressa em porcentagem.

Existem duas maneiras de se efetuar uma análise de sensibilidade de modelos de fluxo e transporte de águas subterrâneas. Primeiramente, pode-se observar as variações causadas na saída do modelo (fluxo resultante, distribuição do contaminante) por diferentes modificações nos parâmetros. A segunda forma, é a de se observar o efeito delas sobre os resultados de calibração (cargas hidráulicas e concentrações dos pontos medidos no campo).
Na maioria dos casos deve-se aplicar ambos procedimentos para se poder obter resultados conclusivos. Desta maneira, pode-se definir quais parâmetros influenciam de sobremaneira o sistema de fluxo e transporte, os prognósticos e a calibração de uma maneira geral. Pode-se ainda identificar quais parâmetros tem uma influência pronunciada no fluxo e transporte, sem no entanto, modificar muito os resultados de calibração do modelo.
Uma das principais ferramentas que vem sendo utilizada na análise de sensibilidade é o programa WINPEST (Model Independent Parameter Estimation Program) desenvolvido pelas empresas Watermark Numerical Computing (DOHERTY, 1998) e Waterloo Hydrogeologic Inc.. O programa WINPEST pode ser utilizado para ambos procedimentos descritos acima e encontra-se integrado ao programa de modelamento do fluxo e transporte de águas subterrâneas VISUAL MODFLOW.
O programa WINPEST foi desenvolvido para melhorar a calibração de modelos, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os calculados pelo modelo (função F) através de variações nos parâmetros de entrada. Para a melhor configuração dos parâmetros, WINPEST determina a sensibilidade da função F para cada parâmetro (matriz de Jacob), ajusta os parâmetros e calcula o novo valor para a função F. Estas sensibilidades calculadas pelo programa WINPEST podem ser utilizadas para se determinar a sensibilidade do modelo.

Sensibilidade da Saída de Modelos Matemáticos de Fluxo
Para se avaliar a sensibilidade da saída de um modelo de fluxo, e, para se evitar tendências criadas por aglomerações de pontos de observação de poços de monitoramento, o modelo deve ser dividido numa grade com várias linhas e colunas. Em cada intersecção, deve-se colocar um ponto de observação, cujo valor de carga hidráulica corresponda ao valor do modelo calibrado. Neste caso, a função F, que deverá ser minimizada, engloba todos estes pontos. Após o cálculo feito pelo programa WINPEST, obtem- se um resultado similar ao apresentado na figura 2. Neste caso foram avaliadas as sensibilidades dos parâmetros condutividade hidráulica e recarga. Cada área de condutividade hidráulica corresponde a uma área de recarga diferente neste modelo. Observa-se que tanto para a condutividade hidráulica, como para a recarga as áreas 4 e 5 são as de maior sensibilidade.

Figura 2: Exemplo de uma representação gráfica de valores de sensibilidade obtidos com o programa WINPEST para os parâmetros condutividade hidráulica e recarga ao aquífero de um modelo matemático de fluxo.

Sensibilidade da Calibração de Modelos Matemáticos de Fluxo
O programa WINPEST também pode ser utilizado para efetuar uma análise de sensibilidade utilizando os valores de carga hidráulica medidos no campo e que foram utilizados para a calibração do modelo. No entanto, podem existir trends devido à uma maior concentração de poços numa determinada área. Aquelas regiões com maior densidade de pontos são as que irão apresentar maiores sensibilidades em detrimento das com um menor número de observações.
De maneira geral, nesta análise serão determinadas sensibilidades maiores que na avaliação da saída do modelo. Isto ocorre, porque o valor total obtido para a sensibilidade de cada parâmetro é dividido pelo número de observações, que é muito maior na avaliação da saída do modelo. Portanto, a comparação destes dois resultados de avaliação da sensibilidade de cada parâmetro somente poderá ser feito de maneira relativa.


Bibliografia:
. BRAYTON, R.K. & SPENCE, R. (1980), Sensitivity and Optimization, Elsevier, New York, 230 pp.
. DENDROU, B., & DENDROU, S. (1994), Reference Guide for the EIS/GWM Platform, Parts A and B, MicroEngineering, Inc., P.O. Box 1344, Annandale, VA 22003.
. DOHERTY, J. (1998), PEST - Model Independent Parameter Estimation, Watermark Numerical Computing
. FRANK, P.M. (1978), Introduction to Sensitivity Theory, Academic Press., San Diego, California.
. KABALA, Z.J. & MILLY, P.C.D. (1990), Sensitivity analysis of flow in unsaturated heterogeneous porous media: theory, numerical model and its verification, Water Resour. Res., 26, pag. 593-610.
. LA VENUE, M., ANDREWS, R.W. & RAMARAO, B.S. (1989), Groundwater Travel Time Uncertainty Analysis Using Sensitivity Derivatives, Water Resourc. Res., 25(7), pag. 1551-1566.
. RIOS INSUA, D. (1990), Sensitivity Analysis in Multiobject Decision Making, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer, Berlin-Heidelberg, 255 pag.
. SYKES, J.F., WILSON, J.L. & ANDREWS, R.W. (1985), Sensitivity analysis for steady state groundwater flow using adjoint operators, Water Resour. Res., 21(3), pag. 359-371.

Dr. Michel W. Kohnke é
consultor senior da
Waterloo Hydrogeologic Inc.
Tel: 1 (519) 746-1798 R.241
(Waterloo, Canada)
(11) 3030-9344 (São Paulo)
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